定义 正切函数是正弦与余弦的比值，即 $y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，其中 $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$。
从哪来 它建立在“一、函数的定义”之上，明确了自变量与因变量的对应关系；同时依托“三、函数图像”，通过单位圆中的三角函数线直观呈现其几何意义。
为什么 在直角三角形中，正切定义为对边比邻边。推广到任意角 $x$，在单位圆中，终边与直线 $x=1$ 交于点 $P(1, y)$，则 $y$ 即为 $\tan x$。因为当终边垂直于 $x$ 轴时（$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$），交点不存在（平行无交点），故该处无定义。这解释了为何正切函数有间断点，且值域为全体实数。
直观几何法**
**适合学生类型
形象思维强、空间想象力好、对抽象代数公式感到困难的学生。
操作：在黑板上画出单位圆，动态演示终边旋转。重点展示终边与 $y$ 轴平行时，与直线 $x=1$ 的交点“飞到了无穷远”。让学生亲眼看到 $\tan x$ 的几何长度是如何随角度变化而剧烈变化的，从而理解其周期性（每转 $180^\circ$ 图形重合）和渐近线的存在。
代数推导法**
**适合学生类型
逻辑推理能力强、偏好公式推导、对几何直观不敏感的学生。
操作：从 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 出发。先复习 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的周期都是 $2\pi$，但 $\cos x$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处为 0。引导学生分析分母为 0 时函数无意义，从而确定定义域。再证明 $\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$，从而得出最小正周期为 $\pi$。
对比辨析法**
**适合学生类型
容易混淆正弦、余弦、正切性质，需要建立知识网络的学生。
操作：列表对比 $y=\sin x$、$y=\cos x$、$y=\tan x$。
1.
定义域：前两者为 $\mathbb{R}$，正切为 $\{x | x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}\}$。
2.
值域：前两者为 $[-1, 1]$，正切为 $\mathbb{R}$。
3.
奇偶性：$\sin x$ 奇，$\cos x$ 偶，$\tan x$ 奇。
4.
单调性：正切在每个连续区间 $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ 内单调递增，但
不能说在整个定义域上单调递增。
通过对比，强化正切函数的特殊性（有间断点、值域无限）。