定义 描述两个角的正弦、余弦、正切值与其和或差的正弦、余弦、正切值之间的恒等关系。
从哪来 建立在“一、函数的定义”之上，将三角函数视为角（或弧度）的函数，通过自变量（角度）的线性组合（和与差）来研究函数值的变化规律。
为什么 三角函数本质上是单位圆上点的坐标函数。当两个角 $\alpha$ 和 $\beta$ 叠加时，终边位置发生旋转。根据复数乘法（或向量旋转矩阵）的几何意义，旋转角的合成对应坐标的线性组合。例如，$\cos(\alpha+\beta)$ 实质上是两个旋转矩阵相乘后的横坐标分量，其展开必然涉及 $\cos\alpha\cos\beta$ 和 $-\sin\alpha\sin\beta$ 的代数和，这是由旋转的几何不变性决定的，而非简单的代数相加。
讲法
几何推导法（适合视觉型、直观思维强的学生）
在单位圆中，设角 $\alpha$ 终边交圆于 $P_1$，角 $\beta$ 终边交圆于 $P_2$。构造以 $O$ 为顶点的等腰三角形或利用弦长公式。
1. 计算 $P_1(\cos\alpha, \sin\alpha)$ 和 $P_2(\cos\beta, \sin\beta)$ 之间的距离平方：$|P_1P_2|^2 = (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2$。
2. 另一方面，$\angle P_1OP_2$ 的大小为 $|\alpha-\beta|$，利用余弦定理或两点间距离公式的几何意义，$|P_1P_2|^2 = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)$。
3. 展开左边：$2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$。
4. 对比两边，得出 $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$。
5. 利用 $\cos(\alpha+\beta) = \cos[\alpha-(-\beta)]$ 推导和角公式。
*优点：图形直观，记忆深刻，理解“为什么是加号/减号”。*
讲法
复数法（适合代数基础好、逻辑抽象能力强的学生）
利用欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 或复数乘法。
1. 设 $z_1 = \cos\alpha + i\sin\alpha$，$z_2 = \cos\beta + i\sin\beta$。
2. 计算乘积 $z_1 z_2 = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$。
3. 根据复数模长性质，$|z_1 z_2| = 1$，且辐角相加，故 $z_1 z_2 = \cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)$。
4. 实部对应余弦，虚部对应正弦，直接得到公式。
*优点：推导简洁，揭示三角函数与指数函数的深层联系，适合竞赛或高阶思维训练。*
特殊值验证与结构分析法（适合记忆型、应试导向的学生）**
1. **结构分析
观察公式结构，$\cos(\alpha \pm \beta)$ 是“同名相乘”（$\cos\cos$ 和 $\sin\sin$），$\sin(\alpha \pm \beta)$ 是“异名相乘”（$\sin\cos$ 和 $\cos\sin$）。
2.
符号规律：
* 余弦公式：符号与中间符号
相同（$\cos(\alpha-\beta)$ 中是 $+$，$\cos(\alpha+\beta)$ 中是 $-$，注意：这里通常记忆为“余弦同号，正弦异号”是针对展开项相对于原角符号的关系，更准确的口诀是：
余弦公式符号与中间运算符号相反？不，是：$\cos(\alpha-\beta)$ 展开为 $+$，$\cos(\alpha+\beta)$ 展开为 $-$。即：余弦公式的符号与括号内符号相反
（对于第二项），或者简单记：余弦同号（指两项都是乘积，符号取决于中间），正弦异号**。
* *修正记忆口诀*：
余弦公式：符号与中间相同（错！）；正确口诀：余弦公式中，两项符号与中间符号相反
？不，$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$（中间减，展开加）。$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$（中间加，展开减）。结论：余弦公式的符号与中间符号相反。**
* $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$（中间减，展开减）。$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$（中间加，展开加）。
结论：正弦公式的符号与中间符号相同。
3.
特殊值检验：令 $\beta = 0$，看是否退化为 $\cos\alpha, \sin\alpha$；令 $\beta = \pi/2$，看是否变为 $-\sin\alpha, \cos\alpha$。
*优点：快速记忆，便于考场快速书写，降低出错率。*