例3：三角函数图像

先确认一下：这一关能不能学

函数的概念、表示与性质

先会这个

上面这几节是它的地基 —— 没通的话，补完再回来，比硬啃快得多。

讲清楚它是什么

定义　利用单位圆或五点法，绘制正弦、余弦函数在一个周期内的图像，并理解其周期性特征。

从哪来　基于“一、函数的定义”确定自变量与因变量的对应关系，并运用“三、函数图像”中描点连线的方法进行几何表征。

为什么　三角函数本质是单位圆上动点坐标随角度变化的规律。因为圆周运动具有周期性（每转 $2\pi$ 回到原位），所以其图像呈现重复的波浪形；又因为正弦值对应纵坐标，余弦值对应横坐标，决定了波峰波谷的具体位置及相位差异。

讲法

适合：形象思维强、喜欢直观演示的学生 核心策略：动态几何演示 1. 在黑板或PPT上画一个单位圆，标出原点 $O$。 2. 取圆上一点 $P$，让 $P$ 从 $(1,0)$ 开始逆时针缓慢旋转。 3. 在圆右侧画一条水平直线（代表 $x$ 轴延伸），从 $P$ 点向该直线作垂线，垂足为 $Q$。 4. 强调：$P$ 点的纵坐标 $y$ 就是 $\sin x$，$x$ 是角度。 5. 随着 $P$ 转动，记录 $Q$ 点的高度变化轨迹。 6. 结论：$Q$ 点的轨迹就是正弦曲线。让学生看到“圆”如何“展开”成“波”。

讲法

适合：逻辑推理强、偏好代数计算的学生 核心策略：五点法描点 1. 列出正弦函数 $y=\sin x$ 在一个周期 $[0, 2\pi]$ 内的五个关键点： - $(0, 0)$ - $(\frac{\pi}{2}, 1)$ - $(\pi, 0)$ - $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ - $(2\pi, 0)$ 2. 解释为何选这五点：它们是函数值为 $0, 1, -1$ 的特殊位置，决定了曲线的形状骨架。 3. 在坐标系中准确标出这五个点。 4. 用平滑曲线连接，强调曲线在极值点处切线水平，在零点处斜率最大。 5. 利用周期性 $T=2\pi$，将这段曲线向左、右无限平移，得到完整图像。

讲法

适合：空间想象力好、喜欢对比记忆的学生 核心策略：对称与平移对比 1. 先画出 $y=\sin x$ 的图像。 2. 提问：$y=\cos x$ 与 $y=\sin x$ 有什么关系？ 3. 引导学生观察：$\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$。 4. 结论：余弦图像就是正弦图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位。 5. 对比两者在 $y$ 轴上的截距：$\sin 0 = 0$（过原点），$\cos 0 = 1$（过 $(0,1)$）。 6. 利用奇偶性：正弦是奇函数（关于原点对称），余弦是偶函数（关于 $y$ 轴对称），帮助快速判断图像走向。

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练一道

基础题

画出函数 $y = \sin x$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的图像。

变式

画出函数 $y = -\sin x$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的图像。

看解答过程

1. 建立直角坐标系，标出 $x$ 轴和 $y$ 轴。 2. 在 $x$ 轴上标出 $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$。 3. 计算并描出五个关键点：$(0,0), (\frac{\pi}{2},1), (\pi,0), (\frac{3\pi}{2},-1), (2\pi,0)$。 4. 用平滑曲线顺次连接这五点，形成“S”形波浪。 5. 检查：曲线在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处达到最高点，在 $x=\frac{3\pi}{2}$ 处达到最低点。

试试手自己判

检测题

判断下列说法是否正确：函数 $y = \sin x$ 的图像关于 $y$ 轴对称。

看答案和判分标准

答案：错误。
判对标准：
- 若学生回答“错误”，并指出 $y=\sin x$ 是奇函数，图像关于原点对称，则判对。
- 若学生回答“错误”，但理由模糊（如“看起来不像”），需追问其数学依据，若能补充奇函数性质则判对。
- 若学生回答“正确”，则判错，需指出其混淆了奇偶性。

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