定义 从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素并按一定顺序排列，其种数记为 $A_n^m$。
从哪来 本节为高一数学计数原理的起点，不依赖前置图谱知识点，直接基于“分类加法计数原理”与“分步乘法计数原理”构建。
为什么 排列的核心在于“有序”。若只选不排，是组合；若选且排，则是排列。
原理推导：从 $n$ 个元素中取 $m$ 个排成一列。
第一步：第一个位置有 $n$ 种选法；
第二步：第二个位置剩 $n-1$ 种选法；
……
第 $m$ 步：第 $m$ 个位置剩 $n-m+1$ 种选法。
根据分步乘法计数原理，总种数为 $n \times (n-1) \times \dots \times (n-m+1)$，即 $A_n^m$。
本质是：每一个位置的选择都依赖于前一步的选择，且顺序不同代表不同的结果。
讲法
适合：形象思维强、喜欢具体情境的学生
讲法：排队问题法
假设班级有 5 个同学（甲、乙、丙、丁、戊），要选 3 人站成一排领奖。
问：有多少种不同的站法？
引导思考：
1. 谁站中间？（5 种选择）
2. 谁站左边？（剩下 4 人里选 1 个，4 种选择）
3. 谁站右边？（剩下 3 人里选 1 个，3 种选择）
总数 = $5 \times 4 \times 3 = 60$。
强调：如果甲站中间、乙站左边、丙站右边，与甲站中间、丙站左边、乙站右边，是两种不同的情况。这就是“有序”。
讲法
适合：逻辑抽象能力强、喜欢公式推导的学生
讲法：位置填充法（乘法原理直接应用）
将排列看作 $m$ 个“空位”：$\square \square \dots \square$
从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个填入。
第 1 个空位：$n$ 种填法
第 2 个空位：$n-1$ 种填法
...
第 $m$ 个空位：$n-m+1$ 种填法
由分步乘法计数原理，$A_n^m = n(n-1)\cdots(n-m+1)$。
特别地，当 $m=n$ 时，$A_n^n = n!$（全排列）。
此法直接建立从“位置”到“元素”的映射，逻辑严密，便于后续推导组合公式。
讲法
适合：空间感强、喜欢图示化的学生
讲法：树状图剪枝法
画一棵树：
根节点：开始
第一层分支：$n$ 条（代表第一个位置的选择）
第二层分支：每条第一层分支再分出 $n-1$ 条（代表第二个位置的选择）
...
第 $m$ 层分支：每条第 $m-1$ 层分支再分出 $n-m+1$ 条
叶子节点总数即为 $A_n^m$。
让学生数叶子节点，直观看到“分支数递减”的规律，理解为什么是连乘。