三、数量积的坐标表示

讲清楚它是什么

定义　两个向量数量积等于它们对应坐标乘积之和，即 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。

从哪来　本节为起点，无前置知识点记录。

为什么　数量积本质是投影与模长的乘积。在直角坐标系中，向量可分解为水平与垂直分量。根据分配律，$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{i}x_1 + \vec{j}y_1) \cdot (\vec{i}x_2 + \vec{j}y_2)$。由于基底 $\vec{i}, \vec{j}$ 正交且单位化，交叉项为零，同向项为1，故结果简化为对应坐标乘积之和。

坐标分解法

将向量拆解为 $x\vec{i} + y\vec{j}$，利用分配律展开。
适合：逻辑严密、擅长代数推导、对几何直观不敏感的学生。

几何投影法

画图展示 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向投影，强调“横乘横、纵乘纵”的几何意义。
适合：空间想象力强、偏好图形辅助、对纯代数运算易出错的学生。

类比复数乘法

将向量类比复数，强调“实部乘实部加虚部乘虚部”的结构相似性。
适合：已接触复数概念、喜欢寻找数学结构统一性、高阶思维活跃的学生。

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练一道

基础题

已知 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(3,-4)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$。

变式

已知 $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, \vec{a} \cdot \vec{b} = -3$，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$。