定义 两个向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，结果是一个实数。
从哪来 本节为高一数学第1讲起点，图谱中无前置知识点记录，故直接基于向量基本概念引入。
为什么 物理学中，功 $W = F \cdot s \cdot \cos\theta$ 描述了力在位移方向上的效果。数学上，为了量化两个向量方向的“接近程度”及投影长度，将标量（功）与向量（力、位移）结合，抽象出数量积。它本质上是向量在另一个向量方向上的投影长度乘以该向量的模，实现了从几何投影到代数运算的桥梁。
物理引入法
从“推箱子做功”入手。力 $\vec{F}$ 和位移 $\vec{s}$ 都有方向，但功 $W$ 是标量。只有力在位移方向的分量 $F\cos\theta$ 才做功。由此定义 $\vec{F} \cdot \vec{s} = W$。
适合：对物理感兴趣、喜欢从实际应用场景理解抽象概念的学生。
几何投影法
画两个向量。将 $\vec{a}$ 投影到 $\vec{b}$ 上，投影长度为 $|\vec{a}|\cos\theta$。数量积就是“投影长度”乘以“基底长度” $|\vec{b}|$。强调：当 $\theta=90^\circ$ 时投影为0，积为0；当 $\theta=0^\circ$ 时投影最大，积最大。
适合：几何直觉强、擅长通过图形理解代数关系的学生。
代数坐标法
先给出坐标公式 $\vec{a}=(x_1,y_1), \vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。通过余弦定理推导证明该代数式等于 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$。强调计算便利性。
适合：代数运算能力强、偏好直接公式推导和计算技巧的学生。