定义 将数列通项拆分为两项之差，利用求和时中间项相互抵消的特性简化计算的方法。
从哪来 本节为起点，无前置知识点记录。
为什么 数列求和本质是累加。若通项 $a_n$ 能写成 $f(n) - f(n+1)$ 的形式，则 $\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n [f(i) - f(i+1)]$。展开后，$f(2)$ 在减数位置出现一次，在加数位置出现一次，正负抵消。这种结构使得 $n$ 项求和仅剩下首尾两项 $f(1) - f(n+1)$，从而将复杂的累加转化为简单的代数运算。
讲法
代数结构拆解法
适合
逻辑严密、偏好公式推导的学生。
直接展示恒等变形：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$。强调这是基于分式裂项的代数恒等式。让学生先做纯代数练习，不引入数列符号，验证 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ 的结果。重点在于理解“中间项消去”的代数机制，而非数列背景。
讲法
面积/物理类比法
适合
形象思维强、抽象代数较弱的学生。
用“水流”或“接力棒”比喻。想象 $f(n)$ 是第 $n$ 个位置的水位高度，$a_n$ 是第 $n$ 段的水位差。求和就是计算总落差。中间的水位点既作为上一段的终点，又作为下一段的起点，被重复计算后抵消，最终只剩下“起始水位”和“最终水位”的差。通过画图标注 $f(1), f(2), \dots, f(n+1)$ 的位置，直观展示哪些项被划掉。
讲法
错误对比试错法
适合
注意力易分散、需要强刺激的学生。
先给出一个错误的求和过程（例如忘记抵消所有中间项，或者错误地认为所有项都抵消只剩第一项）。让学生“找茬”。通过对比正确与错误结果的巨大差异，激发好奇心。然后引导他们手动展开前5项，亲眼看到 $-\frac{1}{2}$ 和 $+\frac{1}{2}$ 如何抵消。强调“只有首项的加数部分和末项的减数部分存活”，其余全部“死亡”。