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例3：数列求和

数列的概念与等差等比数列　·　高一
讲清楚它是什么

定义　利用裂项相消、倒序相加或错位相减等技巧，将数列前n项和转化为可计算形式的方法。

从哪来　本节为起点，无前置知识点记录。

为什么　数列通项公式往往复杂，直接累加无法得出简洁结果。通过代数变形（如拆分、对称、乘公比），构造出中间项相互抵消或结构简化，从而将无限或复杂求和转化为有限或简单运算。

裂项相消法
将通项拆分为两项之差，如 $1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)$，求和时中间项抵消。适合逻辑清晰、擅长代数变形的学生。
倒序相加法
将和式倒写，与原式相加，利用对称性消去变量。如等差数列求和。适合直观思维强、喜欢对称结构的学生。
错位相减法
适用于等差×等积数列，两边同乘公比后错位相减，转化为等比求和。适合计算能力强、能处理复杂代数式的学生。
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练一道
基础题
求 $S_n = 1/2 + 1/6 + 1/12 + \dots + 1/[n(n+1)]$。 解：通项 $a_k = 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1)$。 $S_n = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + \dots + (1/n - 1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)$。
变式
求 $S_n = 1\cdot2 + 2\cdot2^2 + 3\cdot2^3 + \dots + n\cdot2^n$。 解：错位相减。 $S_n = 1\cdot2 + 2\cdot2^2 + \dots + n\cdot2^n$ ① $2S_n = 1\cdot2^2 + 2\cdot2^3 + \dots + n\cdot2^{n+1}$ ② ①-②得：$-S_n = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n\cdot2^{n+1}$ $-S_n = (2^{n+1}-2) - n\cdot2^{n+1}$ $S_n = (n-1)2^{n+1} + 2$。
试试手自己判
检测题
求 $S_n = 1\cdot3 + 2\cdot3^2 + 3\cdot3^3 + \dots + n\cdot3^n$。
看答案和判分标准
答案：$S_n = \frac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$。
判对标准：
使用错位相减法，正确写出 $S_n$ 与 $3S_n$，相减后等比求和无误，最终化简正确。
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