定义 等差数列前 $n$ 项和 $S_n$ 的公式，即 $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 或 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$。
从哪来 本知识点是高一数学数列章节的起点，直接建立在等差数列的通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 之上。
为什么 推导核心在于“倒序相加法”。 设 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$， 倒序写为 $S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1$。 两式相加，利用等差数列性质 $a_1+a_n = a_2+a_{n-1} = \dots = a_k + a_{n-k+1}$， 得到 $2S_n = n(a_1+a_n)$，从而 $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$。 若代入通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，则消去 $a_n$，得到 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$。 本质是将线性增长的项转化为常数项求和，体现了对称性在数学计算中的应用。