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3.2 竞赛真题

位置 · 五年级
讲清楚它是什么

定义 指针对特定数学竞赛(如华杯赛、希望杯等)历年真题的拆解、归类与解题策略提炼。

从哪来 建立在 1.1 画图策略 和 3.1 综合策略应用 之上。

为什么 竞赛真题是命题人思维的直接载体,具有极高的信度。通过“真题”这一载体,可以将抽象的“综合策略”(3.1)具象化为可操作的步骤,并强制学生运用“画图”(1.1)将复杂逻辑可视化,从而突破常规课内题的思维定势,实现从“解题”到“破题”的能力跃迁。

逆向拆解法
先展示真题答案,倒推命题人的出题意图和陷阱设置,再让学生尝试正向解题。
适合:逻辑推理能力强,但缺乏竞赛经验、容易在复杂题干中迷失方向的学生。
变式对比法
选取一道真题及其官方变式题(或相似真题),对比条件微调带来的解法差异,强调“画图”在区分细微差别中的作用。
适合:基础扎实,但解题套路化严重,遇到新题型容易卡壳的学生。
实战模拟法
限时完成一道真题,随后立即进行“复盘”,重点分析哪一步卡住、是否使用了画图策略、综合策略是否调用正确。
适合:平时练习量大但正确率不稳定,需要提升抗压能力和自我监控能力的学生。
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练一道
基础题
某校五年级学生参加数学竞赛,共有100人。已知参加奥数组的人数比参加英语组的人数多20人,且两组都参加的人数占总人数的20%。求只参加奥数组的人数。
变式
在上述题目基础上,若“两组都参加的人数”改为“只参加奥数组人数的 $\frac{1}{3}$”,求只参加奥数组的人数。
试试手自己判
检测题
某班级有50名学生,参加语文兴趣小组的有30人,参加数学兴趣小组的有25人。已知至少参加一个小组的学生占总人数的90%。求同时参加两个小组的学生人数。
看答案和判分标准
答案:1. 至少参加一个小组的人数 $= 50 \times 90\% = 45$ 人。 2. 根据容斥原理:$N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$。 3. $45 = 30 + 25 - N(A \cap B)$。 4. $N(A \cap B) = 55 - 45 = 10$ 人。
判对标准:
正确计算出“至少参加一个”的人数为45人(2分)。
* 正确应用容斥原理公式或画出韦恩图并列出正确等式(3分)。
* 得出最终答案10人(3分)。
* 若未画图但逻辑清晰、步骤完整,也可得分;若直接猜答案无过程,不得分。
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