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5.2 基本公式

动量守恒定律及其在碰撞与反冲中的应用 · 高二
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 描述碰撞前后系统总动量守恒及能量变化(弹性/非弹性)的数学表达式集合。

从哪来 基于 5.1 动量与动能公式 和 7.2 系统动量守恒 推导,并结合 5.3 碰后速度关系 确定具体解。

为什么 碰撞过程内力远大于外力,故系统动量守恒($m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$)。同时,根据能量是否守恒,需引入动能关系:若机械能守恒(弹性碰撞),则 $\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2$;若机械能不守恒(非弹性),则需满足 $E_{k,loss} \ge 0$ 且 $E_{k,loss} \le \Delta E_{k,max}$(完全非弹性时损失最大)。这两个方程联立,才能唯一确定碰后状态。

代数联立法
直接列出动量守恒方程和动能方程(或能量损失不等式),通过解二元二次方程组求 $v_1', v_2'$。
适合:数学基础扎实,擅长代数运算,喜欢直接套用公式解题的学生。
相对速度法(恢复系数法)
利用弹性碰撞中“接近速度等于分离速度”($v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$)这一推论,将二次方程降为一次方程组求解。
适合:对物理图像敏感,喜欢寻找几何或运动学对称性,希望简化计算过程的学生。
质心系法
转换到质心参考系,此时碰撞前后粒子速度仅反向(弹性)或变为零(完全非弹性),计算极其简单,再变换回实验室系。
适合:物理直觉极强,理解参考系变换,追求解题优雅和高阶思维的学生。
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练一道
基础题
质量 $m_1=1\text{kg}$ 的球以 $v_1=4\text{m/s}$ 撞击静止的 $m_2=3\text{kg}$ 球,发生弹性碰撞。求碰后两球速度。
变式
同上条件,但发生完全非弹性碰撞(碰后粘在一起)。求碰后共同速度及机械能损失。
试试手自己判
检测题
质量 $m$ 的子弹以速度 $v$ 射入静止的质量 $M$ 的木块并留在其中(完全非弹性碰撞)。求子弹与木块共同速度 $V$ 及系统损失的动能 $\Delta E_k$。
看答案和判分标准
答案:$V = \frac{m}{m+M}v$ $\Delta E_k = \frac{mM}{2(m+M)}v^2$
判对标准:
1. 正确写出动量守恒方程 $mv = (m+M)V$ 并解出 $V$(占50%分)。
2. 正确计算初末动能差,并化简得到 $\Delta E_k$ 表达式(占50%分)。
3. 若仅写出公式未代入化简,给一半分;若符号错误,不得分。
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