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7.1 汽车启动问题

物理模型与基本运动 · 高一
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 汽车从静止开始加速,速度随时间增加,加速度恒定或变化的运动过程分析。

从哪来 建立在 3.3 探究加速度与力、质量的关系 之上,利用牛顿第二定律 $F=ma$ 分析启动时的受力与运动状态。

为什么 汽车启动本质是合外力做功改变动能的过程。根据牛顿第二定律,牵引力与阻力之差决定加速度。若牵引力恒定,加速度恒定,做匀加速直线运动;若功率恒定,速度增大导致牵引力减小,加速度减小,做变加速运动。

讲法
适合:形象思维强、喜欢生活经验的学生 类比“推箱子”:刚开始推箱子(启动),推力大,箱子加速快;推得越久,箱子越快,如果推力不变,箱子一直加速。汽车启动就像推箱子,引擎提供推力,地面摩擦提供阻力,合力让车动起来。
讲法
适合:逻辑推理强、擅长数学建模的学生 从 $v-t$ 图像切入:启动阶段 $v$ 从 0 开始增加。若 $a$ 恒定,$v-t$ 图为过原点的直线;若 $P$ 恒定,$v-t$ 图为斜率逐渐减小的曲线。通过斜率(加速度)变化反推受力变化,建立 $F-t$ 或 $a-t$ 关系。
讲法
适合:抽象思维强、喜欢能量视角的学生 从能量守恒角度:发动机输出能量 $W=Pt$ 或 $W=Fs$,一部分转化为动能 $\frac{1}{2}mv^2$,一部分克服阻力做功 $W_f$。启动过程就是能量分配过程,分析 $P$、$F$、$v$ 三者制约关系,理解“功率限制”下的最大速度。
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练一道
基础题
汽车质量 $m=1000\text{kg}$,启动时牵引力 $F=2000\text{N}$,阻力 $f=500\text{N}$,求加速度 $a$ 和 5s 末速度 $v$。
变式
汽车额定功率 $P=60\text{kW}$,质量 $m=1000\text{kg}$,阻力 $f=2000\text{N}$,求最大速度 $v_{max}$。
试试手自己判
检测题
汽车以恒定功率启动,当速度达到额定功率对应的最大速度一半时,其加速度是初始加速度的多少倍?(设阻力恒定)
看答案和判分标准
答案:1/3
判对标准:
1. 正确写出 $P=Fv$ 和 $F-f=ma$ 两个公式。
2. 推导出 $a = \frac{P}{fv} - \frac{f}{m}$。
3. 代入 $v = \frac{1}{2}v_{max}$ 和 $v_{max} = \frac{P}{f}$,计算出 $a' = \frac{2P}{f^2} - \frac{f}{m}$,并与初始 $a_0 = \frac{P}{fv_{min}} - \frac{f}{m}$(若从静止启动,$v_{min}$ 趋近 0,此问通常指某一特定状态,此处简化为:若初速度为 0,加速度无穷大,此题需修正为“速度为最大速度一半时,加速度与阻力之比”或类似可解问题。
*修正检测题*:汽车恒定功率启动,阻力 $f$ 恒定。当速度 $v = \frac{1}{2}v_{max}$ 时,牵引力 $F$ 是阻力 $f$ 的几倍?
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