定义 复合函数是由两个或多个函数通过“中间变量”嵌套组合而成的新函数，形式为 $y=f(g(x))$。
从哪来 它建立在一、函数的定义之上。理解复合函数必须首先明确“函数是定义域到值域的映射”这一核心概念，只有当内层函数的值域落在外层函数的定义域内时，复合关系才成立。
为什么 复合函数的本质是运算的串联。
1. 逻辑链条：现实世界中许多量不是直接由自变量 $x$ 决定的，而是先由 $x$ 决定中间量 $u$，再由 $u$ 决定最终量 $y$。例如：气温随时间变化，人体舒适度随气温变化，则舒适度随时间变化。
2. 结构需求：为了研究复杂变化规律，我们需要将复杂过程拆解为简单的“输入-处理-输出”模块。复合函数就是将这些模块串联起来，使得 $x$ 的变化能层层传递到 $y$。
3. 定义域约束：之所以强调“嵌套”，是因为外层函数的自变量不再是原始的 $x$，而是内层函数的输出 $g(x)$。这要求 $g(x)$ 的结果必须在外层函数 $f$ 的定义域内，这是复合函数存在的逻辑前提。
“流水线加工”模型**
**适合学生类型
形象思维强、对抽象符号感到困难的学生。
讲解内容：
把函数想象成工厂里的机器。
- 内层函数 $g(x)$ 是第一台机器，原料是 $x$，产品是半成品 $u$。
- 外层函数 $f(u)$ 是第二台机器，原料是半成品 $u$，产品是成品 $y$。
- 复合函数 $f(g(x))$ 就是把这两台机器连成一条流水线。
-
关键点：第一台机器出来的产品（$u$），必须能塞进第二台机器的进料口（$f$ 的定义域）。如果第一台机器生产出的零件太大，第二台机器吞不下，这条流水线就断了（函数无意义）。
-
操作：求值时，先算第一台机器的输出，再把这个数喂给第二台机器。
“俄罗斯套娃”拆解法**
**适合学生类型
逻辑推理能力强、喜欢结构化分析的学生。
讲解内容：
复合函数就像套娃，我们要学会“剥洋葱”。
1.
识别结构：看到 $y = \sin(x^2 + 1)$，不要试图一步算出结果，而是问自己：最外层是什么？是 $\sin(\cdot)$。里面是什么？是 $x^2 + 1$。
2.
分层剥离：
- 令 $u = x^2 + 1$（内层）。
- 则 $y = \sin(u)$（外层）。
3.
逆向思维：求导或求单调性时，遵循“由外向内”或“由内向外”的特定规则（视具体运算而定），但理解结构时，必须明确谁是“壳”（外层），谁是“核”（内层）。
4.
核心逻辑：外层函数决定了“怎么变”（如正弦的周期性、对数的单调性），内层函数决定了“变多少”（如二次函数的开口方向、一次函数的斜率）。
“定义域交集”排查法**
**适合学生类型
严谨细致、容易在计算中忽略定义域的学生。
讲解内容：
复合函数 $y=f(g(x))$ 的定义域，不是 $f$ 和 $g$ 定义域的简单交集，而是满足以下两个条件的 $x$ 的集合：
1. $x$ 必须在 $g(x)$ 的定义域内（否则 $g(x)$ 算不出来）。
2. $g(x)$ 的值必须在 $f(u)$ 的定义域内（否则 $f(g(x))$ 算不出来）。
口诀：“内层有定义，外层接得住”。
举例：$y = \lg(x^2 - 4)$。
- 外层 $\lg(u)$ 要求 $u > 0$。
- 内层 $u = x^2 - 4$ 要求 $x$ 为实数（天然满足）。
- 综合：$x^2 - 4 > 0 \Rightarrow x > 2$ 或 $x < -2$。
重点：很多学生只看了内层，忘了外层对中间变量的限制，导致定义域求错。