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三、分层抽样

统计案例 · 高一
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 按预定比例从不同层中独立抽取样本,使样本结构与总体结构保持一致的抽样方法。

从哪来 建立在“一、随机事件”之上。理解随机事件是理解抽样中“随机性”与“确定性规则”结合的基础,即每个个体被抽中的概率是确定的随机过程。

为什么 总体内部往往存在显著差异(如男女生比例、不同年级水平)。若简单随机抽样,小群体可能被遗漏或代表性不足。分层抽样通过“先分类、后抽样”,强制保证各子群体在样本中的比例与总体一致,从而降低抽样误差,提高估计精度。

讲法
适合:直观型、生活化思维学生 用“水果篮”类比:篮子里有苹果、香蕉、橘子。若随机抓一把,可能全是苹果。若分层,先按种类分开,再按种类数量比例各抓几个,这样抓出的样本才能代表整个篮子的口味结构。强调“结构一致”是核心。
讲法
适合:逻辑型、公式推导偏好学生 从概率角度切入:设总体容量为 $N$,层 $i$ 容量为 $N_i$,样本容量为 $n$。则层 $i$ 应抽取 $n_i = n \times \frac{N_i}{N}$。强调这是“等概率抽样”的一种实现方式,每个个体入样概率均为 $\frac{n}{N}$,但通过分层控制方差。
讲法
适合:应用型、问题解决导向学生 从“为什么不用简单随机抽样”入手:假设全校1000人,其中女生200人。若随机抽10人,可能0个女生,导致“女生成绩”无法估计。分层抽样强制抽2个女生($10 \times \frac{200}{1000}$),确保关键子群体不被遗漏,适用于需要分析子群体特征的调查。
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练一道
基础题
A、B、C数量分别为150、300、450,共900件。抽30件。 抽样比:$\frac{30}{900} = \frac{1}{30}$。 A:$150 \times \frac{1}{30} = 5$ 件。 B:$300 \times \frac{1}{30} = 10$ 件。 C:$450 \times \frac{1}{30} = 15$ 件。 答:B产品抽取10件,C产品抽取15件。
试试手自己判
检测题
某班级有男生20人,女生30人。现用分层抽样抽取10人参加辩论赛。问应抽取男生、女生各多少人?
看答案和判分标准
答案:男生4人,女生6人。
判对标准:
- 正确计算抽样比:$\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$。
- 男生:$20 \times \frac{1}{5} = 4$。
- 女生:$30 \times \frac{1}{5} = 6$。
- 总数:$4+6=10$,符合样本容量。
若学生答“男生5人,女生5人”或“男生2人,女生8人”,判错。
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