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4.2 动量守恒的瞬时性

动量定理与动量守恒定律 · 高二
先确认一下:这一关能不能学
先会这个
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 动量守恒仅在相互作用力远大于外力或外力冲量可忽略的极短时间内成立,非全过程有效。

从哪来 基于 7.3 子弹打木块 中“碰撞瞬间内力远大于阻力”的模型,结合 2.1 质点模型 对系统边界的界定,以及 3.2 匀变速直线运动 中力与时间累积效应(冲量)的理解。

为什么 动量定理指出 $\Delta p = F_{net} \cdot \Delta t$。在碰撞、爆炸等瞬时过程中,系统内部物体间的相互作用力(内力)通常极大(如 $10^4 \sim 10^6$ N),而外力(如重力、摩擦力)相对较小(如 $10^1 \sim 10^2$ N)。由于作用时间 $\Delta t$ 极短(如 $10^{-3}$ s 量级),外力的冲量 $I_{ext} = F_{ext} \cdot \Delta t$ 趋近于零,而内力冲量虽然也随时间减小,但因其数值巨大,对系统总动量改变起决定性作用。因此,仅在这极短瞬间,系统总动量近似守恒;一旦过程结束,外力冲量积累,动量不再守恒。

讲法
适合类型:直觉型/生活经验型学生 讲法: 想象两个人在光滑冰面上互推。在手指接触并推开的那一刹那,他们受到的推力(内力)巨大,而地面摩擦力(外力)几乎可以忽略不计,所以两人动量总和不变。但推开后,他们滑行时,摩擦力持续作用,动量就变了。强调“那一刹那”就是瞬时性。
讲法
适合类型:逻辑推理/数学偏好型学生 讲法: 引入数量级对比。设内力 $F_{int} \approx 10^5$ N,外力 $F_{ext} \approx 10$ N,时间 $\Delta t = 10^{-3}$ s。计算内力冲量 $I_{int} \approx 100$ N·s,外力冲量 $I_{ext} \approx 0.01$ N·s。$I_{ext}/I_{int} = 10^{-4}$,误差可忽略。若 $\Delta t$ 延长到 1s,$I_{ext}$ 变为 10 N·s,与 $I_{int}$ 同量级,守恒失效。用数据证明“瞬时”是数学近似条件。
讲法
适合类型:图像思维/过程分析型学生 讲法: 画出 $F-t$ 图像。横轴时间,纵轴力。内力曲线是一个极高的尖峰,外力是一条平缓的低线。守恒成立的条件是:尖峰下的面积(内力冲量)远大于低线下的面积(外力冲量)。只有尖峰存在的那一小段横轴区间,才满足“面积差可忽略”,即动量守恒。
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练一道
基础题
光滑水平面上,质量 $m_1=1\text{kg}$ 的滑块 A 以 $v_0=4\text{m/s}$ 撞击静止的质量 $m_2=3\text{kg}$ 的滑块 B。碰撞时间 $\Delta t=0.01\text{s}$,碰后 A 速度 $v_1=-1\text{m/s}$。求碰后 B 的速度 $v_2$ 及碰撞过程中 B 受到的平均作用力。
变式
在粗糙水平面上(动摩擦因数 $\mu=0.5$),上述 A、B 两滑块发生相同碰撞。若碰撞时间仍为 $0.01\text{s}$,问:能否直接用动量守恒定律求碰后速度?若不能,误差有多大?若碰撞时间延长至 $1\text{s}$(如缓慢挤压),还能用吗?
试试手自己判
检测题
质量为 $m$ 的小球以速度 $v$ 垂直撞击固定在墙上的弹簧,压缩弹簧后反弹。在弹簧压缩到最短的瞬间,小球的动量为零。问:从小球接触弹簧到弹簧压缩至最短的整个过程中,小球与弹簧组成的系统动量是否守恒?为什么?
看答案和判分标准
答案:不守恒。
判对标准:
1. 明确回答“不守恒”(1分)。
2. 指出墙壁对弹簧有作用力,该力为系统外力(1分)。
3. 指出该外力冲量不可忽略(因为过程时间相对较长,且墙壁力持续作用)(1分)。
*(若学生回答“守恒”但理由充分说明是近似,需扣分,因为墙壁固定是典型非孤立系统)
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