检测题
已知函数 $f(x) = x^2 + 2x + k$ 在区间 $[-3, 1]$ 上有且仅有一个零点，求实数 $k$ 的取值范围。
答案：$[-3, 5]$
判对标准：
1. 正确计算出对称轴 $x=-1$ 在区间 $[-3, 1]$ 内。
2. 正确指出顶点纵坐标为 $k-1$。
3. 分情况讨论：
- 若顶点在x轴上或下方（$k \le 1$），则需保证区间一端在x轴上方或轴上，另一端在下方或轴上。由于对称轴在区间内，若 $k \le 1$，则 $f(-1) \le 0$。要使区间内恰有一个零点，需 $f(-3) \ge 0$ 且 $f(1) \ge 0$ 中至少一个成立？不对，若 $f(-1)<0$，则两个零点分布在对称轴两侧。若要在 $[-3,1]$ 内恰有一个，则需一个零点在区间内，另一个在区间外。
- 正确逻辑：
- 情况1：$f(-3) \cdot f(1) < 0$。$f(-3)=3+k, f(1)=3+k$。$f(-3)=f(1)$，不可能异号。此路不通。
- 情况2：一个端点为0。$f(-3)=0 \Rightarrow k=-3$。此时 $f(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$，零点为-3, 1。都在区间内，两个零点，不合题意。
- 情况3：顶点为0。$k=1$。$f(x)=(x+1)^2$，零点-1，在区间内，恰一个。符合。
- 情况4：顶点在x轴下方（$k<1$），且一个零点在区间内，另一个在区间外。
由于 $f(-3)=f(1)=k+3$，若 $k+3 > 0$（即 $k>-3$），则两端点都在x轴上方。顶点在下方，则两个零点都在区间内（因为对称轴-1在区间内，且两端点高，零点必夹在中间）。这会导致两个零点。
若 $k+3 < 0$（即 $k<-3$），则两端点都在x轴下方，顶点更在下方，无零点。
若 $k+3 = 0$，即 $k=-3$，两端点为0，两个零点。
重新审视题目：$f(x) = x^2 + 2x + k$。对称轴 $x=-1$。
$f(-3) = 9 - 6 + k = 3+k$
$f(1) = 1 + 2 + k = 3+k$
因为 $f(-3) = f(1)$，所以图像关于 $x=-1$ 对称的部分在区间两端高度相同。
若 $f(-1) < 0$（即 $k<1$），且 $f(-3) > 0$（即 $k>-3$），则两个零点都在 $(-3, 1)$ 内。
若 $f(-1) < 0$ 且 $f(-3) < 0$（即 $k<-3$），无零点。
若 $f(-1) = 0$（即 $k=1$），一个零点 $x=-1$。符合。
若 $f(-1) > 0$（即 $k>1$），无零点。
等等，我之前的变式题逻辑和这个检测题逻辑是否冲突？
检测题中，$f(-3)=f(1)$。
如果 $k=0$，$f(x)=x^2+2x=x(x+2)$，零点0, -2。都在 $[-3,1]$ 内。两个。
如果 $k=-3$，零点-3, 1。两个。
如果 $k=1$，零点-1。一个。
难道题目出错了？或者我理解错了“恰有一个”？
通常这类题是 $f(a) \cdot f(b) < 0$ 或者一个端点为0。
但这里 $f(a)=f(b)$。
唯一可能是顶点为0，即 $k=1$。
让我再检查一遍计算：
$f(x) = x^2 + 2x + k$
$f(-3) = 9 - 6 + k = 3+k$
$f(1) = 1 + 2 + k = 3+k$
确实相等。
如果 $k=2$，$f(x)=x^2+2x+2$，$\Delta = 4-8 < 0$，无零点。
如果 $k=0$，零点 -2, 0。都在区间内。
结论：对于此特定函数和区间，只有 $k=1$ 时恰有一个零点。
修正检测题：为了更有区分度，换一个函数。
新检测题：已知函数 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 在区间 $[m, m+2]$ 上有且仅有一个零点，求 $m$ 的取值范围。