定义 指不等式对定义域内任意实数 $x$ 均成立，转化为求函数最值（最大/最小）的问题。
从哪来 本节为起点，无前置知识点记录。
为什么 “恒成立”意味着不等式左侧与右侧的大小关系在所有可能的 $x$ 取值下都不被打破。若 $f(x) \ge g(x)$ 恒成立，则 $f(x)$ 的图像必须始终在 $g(x)$ 上方或相切，这要求 $f(x)$ 的最小值不能低于 $g(x)$ 的最大值（或相应最值关系）。因此，逻辑本质是将“无限个不等式”的验证问题，通过极值原理降维为“有限个最值”的比较问题。
适合：直觉型、喜欢几何画板的学生**
**讲法：图像覆盖法**
画两个函数的草图。告诉学生，“恒成立”就像“雨伞下雨”。如果 $f(x) \ge g(x)$ 恒成立，就像雨伞（$f$）必须完全盖住雨滴（$g$）。
- 若 $f(x)$ 是开口向上的抛物线，$g(x)$ 是直线，那么抛物线的“谷底”（最小值）必须高于或等于直线的“最高接触点”。
- 核心口诀：**“谁在上方，谁取最值；上方取小，下方取大。”**
- 操作：让学生画出 $y=x^2$ 和 $y=2x-1$，观察何时 $x^2 \ge 2x-1$ 恒成立？引导学生发现，只要 $x^2$ 的最小值（0）大于等于 $2x-1$ 在对应区间的最大值即可（此处需修正逻辑：实际上是 $x^2 - 2x + 1 \ge 0$，即 $(x-1)^2 \ge 0$，这是恒成立的。更准确的例子：$x^2 \ge ax$ 恒成立，则 $x^2$ 的图像要在 $ax$ 上方，当 $x$ 很大时显然成立，关键是看 $x$ 接近0时，$x^2$ 的最低点0必须 $\ge$ $ax$ 的最大值？不对，是 $x^2 - ax \ge 0$ 恒成立，即 $x^2 - ax$ 的最小值 $\ge 0$）。
- **修正讲解
对于 $f(x) \ge g(x)$ 恒成立，等价于 $f(x) - g(x) \ge 0$ 恒成立。令 $h(x) = f(x) - g(x)$，则问题转化为 $h(x)$ 的最小值 $\ge 0$。这是最通用的逻辑。
适合：逻辑型、喜欢代数推导的学生**
**讲法：逻辑等价转化法**
强调逻辑链条：
1. $\forall x \in D, f(x) \ge g(x)$
2. $\iff \forall x \in D, f(x) - g(x) \ge 0$
3. $\iff \min_{x \in D} [f(x) - g(x)] \ge 0$
4. $\iff \min f(x) - \max g(x) \ge 0$ （**注意：此步仅在 $f, g$ 独立变化时成立，通常需合并为一个函数求最值**）
**正确推导
令 $h(x) = f(x) - g(x)$。
若 $h(x) \ge 0$ 对任意 $x$ 成立，则 $h(x)$ 的
最小值必须非负。
即：$\min h(x) \ge 0$。
这是最严谨的代数路径，避免分离变量时的陷阱。
适合：应试型、追求解题速度的学生**
**讲法：分类讨论与参数分离法**
针对含参不等式 $f(x, a) \ge 0$ 恒成立：
1. **能分离参数
若 $a$ 可以单独分离出来（如 $a \le \frac{f(x)}{g(x)}$），则转化为求右边函数的最值。
- $a \le h(x)$ 恒成立 $\iff a \le \min h(x)$
- $a \ge h(x)$ 恒成立 $\iff a \ge \max h(x)$
2.
不能分离参数：直接对含参函数求最值，利用导数或二次函数性质，令最小值 $\ge 0$，解出 $a$ 的范围。
口诀：
“参能分，求最值；参不分，求极值。”